WARR!0R

E-Güven: (18/100)

[Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup özelliğini sağlayan sanal birime denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde yerine, kullanılır.
Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.
Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.
Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.
Tanım:
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ], yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] olan bir [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] ([Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]) sahip olduğunu da unutmayalım.
Kartezyen uzay tanımı:
[Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] kümesinde her sayıyı ile çarparsak elde ettiğimiz kümesi önceki kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle
olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] olarak anılır. Eğer yerine tamsayılar cismi alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]. Bu sayılara da [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] denir.
Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: olmak üzere;
z = (a,b) Burada açıkça Re(z) = a ve Im(z) = b dir.
Cisim genişlemesi tanımı:
Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]. sayısı x2 + 1 [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] biridir ve diğer kökü de olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:
Bu durumda
olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının x2 + 1 polinomuyla üretilen [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]:
Bu bölüm halkasında X öğesinin [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] bunu gerektirir, n [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] her polinomun tam n [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] vardır. Biz, her karmaşık sayının olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.
Matris (dizey) tanımı:
Karmaşık sayıları, gerçel [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] 2x2'lik [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] bir [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ] olarak düşünebiliriz. [Bu Linki Görüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor. ]
ve olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı
olarak ifade edilebilir ki burada a,b alınmıştır. Kaldı ki
olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar
şeklinde tanımlanmış olur.

__________________